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第9章 齐次平衡法（第3页）

……

我们可以先对原方程做变换u=v（-1）将原方程化为关于v的nlpde。

这时，再利用齐次平衡方法解之。”

“下面，我用实例演算给你们看。”

【ut=（u2）??+p（u-u2）（221）

……

当c?=1时，将导致负数解，这里略去。

】

“这就是阶数为负数的平衡法，有什么问题，我们之后再议。”

他看到三人欲言又止，就说道“下面我说一下阶数为分数的情形。”

“若平衡阶数，n中有分数（不妨设其为正分数情形），我们可以先做变换v=au1其中1为的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数，a为任意常数。

也可直接假设。

这个公式比较复杂，我直接写下来吧！”

【u（x，t）=f（[+n]）φ?xφ?tφ???-[+n]+[+n]-1∑t=1f（[+n]-t∑（j=1）c[+n]-tjφ（-j）xφ（n+j-1）tφ（+n-[+n]-t））+ca（311）】

写完后，他指着白板上的公式道“其中[x]表示取x的整数部分，c0为任意常数。”

“下面我实例演示一下。”

【ut+u2ux+pu??=0

其中p，≈t;0

……

得到的精确解为

u（x，t）=±√3pk2r（2-pk2）tanh[?k（x+2pk2-2t）]】

他呼出一口气，道“好了，这就是我说的齐次平衡法，你们有什么需要问的吗？”

“请问较低导数的非线性项式怎么转变为较高导数的线性项的，然后又怎么让各阶的系数为零的。”

宗老师问道。

“是将（223）代入（222），合并φ的各种偏导数同次齐次项，并令φ?xφ1?的系数为零，得

……

φ（x，t）所满足的方程组（229）--（2210）是有解的。”

“那怎么得到k，w的非线性代数方程组？”

杨老师问道。

“令φ（x，t）=1+exp（kx+wt）代入（229）--（2210），得到关于k，w的非线性代数方程组。”

“原方程的准确孤立波解是什么？”

卓越问道。

“我写出来给你看。”