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第七十一幕 莱纳的数学教室下（第2页）

丹娜小声说道，倘若以莱纳得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的轨迹方程，她在今天之前，从来没有意识到数学竟然有这种奇妙的力量。

克莱尔陷入沉思，她想了想，才举起手，提问道。

“可这只能解释抛物线的轨迹，法术模型里还有更多更复杂的曲线，比如椭圆和双曲线，这些该怎么办？”

“这就是问题所在。”

莱纳微微一笑，接着在黑板上画出一个椭圆，建立极坐标，开始推演。

“椭圆的定义是平面上到两个定点的距离等于一个常数，并且大于两个定点之间距离的点的集合，同样存在着准线与焦点，定义可以转化为平面上到定点的距离与到准线的距离的比值为常数的点的集合，以同抛物线类似的方法带入......”

莱纳的板书很规整，简单明了，丹娜也能迅速理解。

最终，椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e（1-e*cosθ），e=b^2a，e=ca，a是椭圆的长轴的一般，而b则是短轴的一半，而c则是两个焦点之间的距离。

“这两个公式，很像。”

丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。

没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

r=e（1-e*cosθ）。

这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

“实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”

看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。

“当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”

他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

“由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”

放下粉笔，莱纳轻声说道。

“证明完毕。”

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