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bsd猜想,全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。
自上世纪五十年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。
例如,怀尔斯(wiles)证明费马最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(rform)之间的关系(谷山-志村猜想)。
bsd猜想就是与椭圆曲线有关。
上世纪六十年代,英国剑桥大学的贝赫与斯维纳通-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解时发现,这种方程通常会有无穷多解。
然而要如何给出无穷多解呢?
其解法是先分类,典型的数学方法是同余并藉此得同余类,即被一个数除之后的余数。
但是无穷多个数不可能每个都是需要的,数学家们便选择了质数,所以从某种程度上说,这个问题还与黎曼猜想zeta函数有关。
经过长时间大量的计算与资料收集,贝赫和斯维纳通-戴尔观察出一些规律与模式,因而提出bsd猜想:设e是定义在代数数域k上的椭圆曲线,e(k)是e上的有理点的集合,已经知道e(k)是有限生成交换群。
记l(s,e)是e的hasse-weill函数。
则e(k)的秩恰好等于l(e,s)在s=1处零点的阶,并且后者的taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。
前半部分通常称为弱bsd猜想,后半部分则是bsd猜想分圆域的类数公式的推广。
目前,数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱bsd猜想成立,对于rank≥2部分的强bsd猜想,依旧无能为力。
此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线,尝试在rank=0和1的基础上,推出rank≥2的bsd猜想,却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内,他始终没有任何进展。
因此,他非常好奇,系统给出的证明过程,到底采用了什么思路。
庞学林打开bsd猜想证明论文,看了起来。
bsd猜想的证明一共有六十多页,对对一个千禧难题级别的猜想而言,显得过于精简了一些。
不过这并不重要,当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候,才用了三十多页,因为过程太过简略,好多人都看不懂,在数学界的强烈要求下,佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章,之后便再也不肯多给了。
但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。
因此,论文的长短并不重要,关键要看论文的质量。
庞学林并没有从开头开始细读,而是先粗略浏览。
粗略浏览,有助于他从整体上了解bsd猜想的证明思路。
不过很快,庞学林的眉头便皱了起来。
论文的开头,便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。
论文的第一部分,写得是关于同余数问题的证明,即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后,推导出bsd对这样的e_d成立:d是某个8k5型素数和若干8k1型素数的乘积,只要bbbq(sqrt{-d})的类群的4倍映射是单的。
这就有意思了。
虽然当前数学界,已经有人尝试通过同余数问题去证明bsd猜想。
但这条路难度太大,还处于萌发状态,目前国际数学界并没有出现太多的成果。
这篇论文的出现,说明当前流行的bsd猜想证明方法,最终都会走向死胡同。
通过同余数问题证明bsd猜想,才是正确的思路。
庞学林凝神屏气,继续看下去。
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